Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» Кафедра маркетингу і логістики Лабораторна робота №3 (частина 1) з курсу «Економіко-математичні методи і моделі» (варіант № 19)  Львів 2017 Лабораторна робота №3 Виробнича регресія У загальному вигляді виробнича регресія може бути записана:
(3.1) У сфері виробництва при аналізі кількісного співвідношення показника і факторів у ролі показника можуть виступати обсяг виробленої продукції, прибуток, товарообіг, рентабельність, собівартість одиниці продукції тощо. Факторами цих показників можуть бути робоча сила, основні засоби або капітал, земля, продуктивність суспільної праці, рівень розвитку науки, техніки тощо. У більш вузькому сенсі під виробничою регресією розуміють залежність між обсягом виробництва і величиною різних виробничих ресурсів. Обсяг виробленої продукції
залежить від двох факторів: чисельності робочої сили
та основних засобів (капіталу) даної галузі
:
(3.2) Будемо вважати, що виробнича регресія неперервна і двічі диференційована. Для з'ясування форми регресійного зв'язку введемо гіпотези: 1) якщо збільшується один з факторів
або
при незмінному значенні іншого, то випуск продукції збільшується. Зміна обсягу виробленої продукції за рахунок зміни одного з факторів
,
математично виражається як частинна похідна по цьому фактору:

; (3.3) 2) приріст виробленого продукту збільшується повільніше, ніж приріст витрат кожного із факторів (приріст одного із факторів на одиницю викликає збільшення випуску продукції менше, ніж на одиницю); 3) Виробнича функція
є однорідною функцією відносно факторів
,
з показником однорідності а. Це означає, що при односторонньому збільшенні значень факторів у
разів (
), обсяг виробленої продукції збільшиться у
разів:
(3.4) Згідно з теоремою Ейлера для виробничої регресії є справедливою тотожність:
; (3.5) 4) на лінії постійного випуску еластичність праці та основних засобів є сталою додатною величиною. На основі цих гіпотез отримано виробничу регресію Кобба-Дугласа
, (3.6) де y – обсяг випуску продукції;
- чисельність робочої сили;
- основний капітал. Для оцінки параметрів лінії регресії прологарифмуємо рівняння і виконаємо заміну величин:
. (3.7) Заміна
. Отримаємо
. (3.8) Використовуючи метод найменших квадратів, отримаємо систему нормальних рівнянь
, (3.9) розв'язки якої можна знайти за формулою
, (3.10) де
- вектор параметрів моделі;
- матриця статистичних даних факторної ознаки;
- вектор статистичних даних результуючої ознаки. Під час економетричних досліджень отримано, що для деяких виробництв для параметрів
і
виконується
. (3.11) Адекватність моделі статистичним даним генеральної сукупності можна перевірити за допомогою критерію Фішера
(3.12) де k1, k2 – ступені вільності, Якщо математична модель адекватна експериментальним даним, то її можна застосовувати для аналізу господарської діяльності підприємства. Важливе значення для аналізу мають частинні коефіцієнти еластичності. Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при незмінних значеннях інших факторів. Частинний коефіцієнт еластичності для фактора
обчислюється за формулою
(3.13) Для
виробничої регресії Кобба-Дугласа отримаємо
. (3.14) Тобто, параметр
є частинним коефіцієнтом е...